Erst der Definitionsbereich, dann die Wurzel freilegen, dann potenzieren. Weil Potenzieren Lösungen dazuerfinden kann, gehört am Ende immer die Probe dazu.
√x = 7Das x steht unter der Wurzel. Genau das macht den Unterschied zu allem davor: Solange es dort steht, hilft kein Umstellen – die Wurzel muss weg.
√x − 3 → D = {x ≥ 3}Unter einer geraden Wurzel darf nichts Negatives stehen. Setze den Radikanden ≥ 0 und löse: x − 3 ≥ 0 heißt x ≥ 3. Die App zeigt D oben an, aufschreiben musst du ihn in der Klausur trotzdem selbst.
2√x + 1 − 3 = 5Erst + 3, dann : 2 – und erst wenn die Wurzel ganz allein steht, wird quadriert. Wer zu früh quadriert, muss eine binomische Formel ausrechnen und macht sich das Leben schwer.
x = 3 → x² = 9, aber x² = 9 → x = ±3Beim Potenzieren können Lösungen dazukommen, die die ursprüngliche Gleichung gar nicht erfüllen. Solche Scheinlösungen entlarvt nur die Probe. Deshalb gehört zu jeder Wurzelgleichung eine Probe – ohne sie ist die Aufgabe nicht fertig.
√x + 2 = −3 → L = { }Die Quadratwurzel liefert nie ein negatives Ergebnis. Steht nach dem Freilegen rechts etwas Negatives, kannst du sofort aufhören: es gibt keine Lösung. Das gilt für jede gerade Wurzel.
3√x = −4 → x = −64Bei ungeraden Wurzeln ist alles erlaubt: D = ℝ, und auch negative Ergebnisse sind möglich. Rückgängig macht man sie mit der passenden Hochzahl – die dritte Wurzel mit hoch 3.
5√x = 2√x + 9Stehen gleiche Wurzelterme auf beiden Seiten, behandle sie wie x-Terme: | − 2√x ergibt 3√x = 9, dann : 3 und quadrieren.
√x · xDie linke Taste setzt einen Wurzelterm in die Umformung – die Zahl davor tippst du vorher, den Wurzelexponenten dahinter (leer heißt 2). Die rechte potenziert beide Seiten mit einer Hochzahl, die du selbst bestimmst.
L = {15}Schreibe am Ende die Lösungsmenge hin und setze jeden Wert zur Probe in die ursprüngliche Gleichung ein. Liegt ein Wert außerhalb von D oder passt die Probe nicht, gehört er nicht in L.
x = √5 ≈ 2,24Nur wenn die Zahl eine echte Potenz ist, geht die Wurzel glatt auf. Sonst ist der Wurzelausdruck die exakte Antwort – die Dezimalzahl über die Taste S⇔D ist nur ein Näherungswert.