Stunde 4 der Reihe „Quadratische Funktionen“ (Mathematik 11): Mit den binomischen Formeln wird aus der Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e die Normalform f(x) = ax² + bx + c. Hier finden Sie das Arbeitsblatt, gestufte Tipps zu jeder Aufgabe und das Lösungsblatt.
Arbeitsblatt
Tipps
Aufgabe antippen, dann Tipp für Tipp freischalten: 1 Denkanstoß · 2 Ansatz · 3 Kontrolle.
Welche binomische Formel passt zu (x + 2)²? Lösen Sie zuerst nur die Klammer auf.
(x + 2)² = x² + 2 · 2 · x + 2² = x² + 4x + 4. Danach − 1 zusammenfassen.
Kontrolle: f(x) = x² + 4x + 3. Probe: f(0) = 4 − 1 = 3 = c.
Erst (x − 4)² auflösen und in Klammern lassen – das Minus davor wirkt auf jeden Summanden.
−(x² − 8x + 16) + 3 = −x² + 8x − 16 + 3 = …
Kontrolle: g(x) = −x² + 8x − 13. Probe: g(0) = −16 + 3 = −13 = c.
Plus in der Klammer: 1. Formel; Minus: 2. Formel; Plus mal Minus: 3. Formel.
(a − b)² = a² − 2ab + b²: bei b) ist a = x und b = 7; bei d) ist a = 2x, also a² = 4x².
Kontrolle: a) x² + 10x + 25; b) x² − 14x + 49; c) x² − 16; d) 4x² − 4x + 1.
Klammer mit der binomischen Formel auflösen, dann die Zahlen zusammenfassen.
a) (x − 1)² + 4 = x² − 2x + 1 + 4 = …; b) (x + 3)² − 10 = x² + 6x + 9 − 10 = …
Kontrolle: a) x² − 2x + 5; b) x² + 6x − 1; c) x² − 10x + 25.
Reihenfolge: erst die Klammer auflösen, dann jeden Summanden mit a multiplizieren, zuletzt zusammenfassen.
a) 3(x² − 4x + 4) + 1 = 3x² − 12x + 12 + 1; b) −0,5(x² + 8x + 16) + 2 = −0,5x² − 4x − 8 + 2.
Kontrolle: a) 3x² − 12x + 13; b) −0,5x² − 4x − 6. Probe: f(0) = c (13 bzw. −6).
Schreiben Sie (x − 3)² als (x − 3)(x − 3) und multiplizieren Sie jeden mit jedem.
Es fehlt der Mittelterm −2 · 3 · x = −6x, und 3² = +9.
Kontrolle: f(x) = x² − 6x + 10. Probe: f(0) = (0 − 3)² + 1 = 10.
Skizze: Bogen nach unten geöffnet, Abwurf bei x = 0, höchster Punkt ist der Scheitelpunkt.
−0,1(x² − 8x + 16) + 3,6 = −0,1x² + 0,8x − 1,6 + 3,6. Die Abwurfhöhe ist f(0) = c.
Kontrolle: f(x) = −0,1x² + 0,8x + 2; Abwurf in 2 m Höhe; S(4 | 3,6).
a) Bringen Sie f in die allgemeine Form und vergleichen Sie mit g. b) Lösen Sie (x − 4)² auf und vergleichen Sie die Zahlen.
a) 2(x² − 2x + 1) + 3 = … b) x² − 8x + 16 + e muss gleich x² − 8x + 20 sein: 16 + e = 20.
Kontrolle: a) 2x² − 4x + 5 = g(x). b) e = 4.