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Lege die Schnur einmal straff um den Gegenstand, markiere die Stelle und miss die Schnur am Lineal. Den Durchmesser misst du genau durch die Mitte; r = d : 2.

u : d und u : r mit dem Taschenrechner, auf eine Stelle runden.

u : d ≈ 3,1 und u : r ≈ 6,3 – bei allen Gegenständen.

Schau auf die Spalten u : d und u : r: Kommt bei jedem Gegenstand ungefähr dieselbe Zahl heraus?

Die Zahl bei u : r ist doppelt so groß wie bei u : d – warum? (r ist halb so lang wie d.)

u : d ≈ 3,14 (= π), u : r ≈ 6,28 (= 2 · π).

Du kennst den Durchmesser – welche Formel passt?

u = π · d = 3,14 · 9 cm.

u = 28,26 cm ≈ 28,3 cm.

Jetzt ist der Radius gegeben – nimm die Formel mit r.

u = 2 · π · r = 2 · 3,14 · 4,5 cm.

u = 28,26 cm – genau wie in a), weil r = 4,5 cm dasselbe ist wie d = 9 cm.

Wie genau kann man mit einer Schnur messen?

π hat unendlich viele Nachkommastellen: 3,14159…

Messfehler machen die Werte ungenau; 3,14 ist ein guter Näherungswert für die genaue Zahl π.

Ist d gegeben, nimm u = π · d. Ist r gegeben, nimm u = 2 · π · r.

a) 3,14 · 10 cm b) 3,14 · 2,5 m c) 2 · 3,14 · 6 cm d) 2 · 3,14 · 1,5 m

a) 31,4 cm b) 7,85 m c) ≈ 37,7 cm d) 9,42 m.

Bei jedem Kreis muss u : d ungefähr 3,14 ergeben.

Teile jeweils u durch d. Welcher Wert passt nicht?

Teller 3,14, Münze ≈ 3,17, Rolle 3,14, Glas 2,75 – beim Glas wurde falsch gemessen.

a) Eine Runde ist der Umfang des Riesenrads. b) Das Seil geht einmal um den Rand – auch das ist der Umfang.

a) u = 3,14 · 50 m b) u = 2 · 3,14 · 6,5 m

a) 157 m b) ≈ 40,8 m.

Bei einer Umdrehung rollt das Rad einmal seinen Umfang ab.

a) u = 3,14 · 70 cm. b) 1 km = 100 000 cm; teile durch den Umfang.

a) 219,8 cm ≈ 2,20 m b) etwa 455 Umdrehungen.

Das Sechseck liegt innen, das Quadrat außen – der Kreisrand liegt dazwischen.

Sechseck: 6 · 2 cm, Kreis: 2 · 3,14 · 2 cm, Quadrat: 4 · 4 cm. Vergleiche mit 3 · d und 4 · d (d = 4 cm).

12 cm < 12,56 cm < 16 cm, also 3 · d < u < 4 · d.

Der Zirkel wird immer auf den Radius eingestellt. Wie groß ist r, wenn d = 4 cm ist?

r = d : 2 = 4 cm : 2. Spitze in M, einmal herumdrehen. Durchmesser: Lineal durch M legen, von Rand zu Rand zeichnen.

Zirkel auf 2 cm; der Durchmesser ist 4 cm lang.

Beide Kreise haben denselben Mittelpunkt. Der Ring ist so breit wie der Unterschied der Radien.

2,5 cm − 2 cm.

Der Ring ist 0,5 cm breit.

d ist doppelt so lang wie r. Beim Zeichnen stellst du den Zirkel auf r ein.

a) 2 · 4 cm b) 9 cm : 2 c) d = 5 cm → r = 2,5 cm d) 66 cm : 2

a) 8 cm, b) 4,5 cm, c) Zirkel auf 2 cm und 2,5 cm, d) 33 cm.

Radius: von M zum Rand. Durchmesser: durch M von Rand zu Rand. Sehne: von Rand zu Rand, aber nicht durch M.

b) Miss die Sehne und vergleiche mit d = 6 cm. c) Vergleiche 2 cm mit r = 3 cm.

b) Die Sehne ist kürzer als 6 cm – der Durchmesser ist die längste Sehne. c) Innerhalb, weil 2 cm < 3 cm.

a) Die Decke hängt auf beiden Seiten über – also zweimal 10 cm dazu. b) Der Empfangsbereich ist ein Kreis mit r = 5 m.

a) 1,20 m + 0,10 m + 0,10 m. b) 3,5 m und 6 m mit 5 m vergleichen; d = 2 · 5 m.

a) 1,40 m. b) Sofa ja, Schreibtisch nein; 10 m breit.

Zeichne die Mittelpunkte zuerst mit dem Lineal im richtigen Abstand, dann die Kreise. Zähle die gemeinsamen Punkte.

Beide Radien zusammen sind 4 cm. Vergleiche den Abstand der Mittelpunkte mit 4 cm.

a) 2 Schnittpunkte, b) 1 Berührpunkt (Abstand = r + r), c) keiner.

Zeichne erst den großen Kreis, dann einen Durchmesser. Die Mittelpunkte der kleinen Kreise liegen 1,5 cm links und rechts von M.

Großer d = 2 · 3 cm, kleine d = 2 · 1,5 cm – und zusammen? Spiegelachsen: Wo kannst du falten, sodass die Hälften aufeinanderliegen?

6 cm = 3 cm + 3 cm; zwei Spiegelachsen (Durchmesser durch die Mittelpunkte und die Senkrechte dazu).

Die y-Achse ist senkrecht. Ein Punkt rechts von ihr landet gleich weit links. Was passiert also mit x, was mit y?

x wechselt das Vorzeichen, y bleibt: A(1 | 1) → A′(−1 | 1). Genauso B und C.

A′(−1 | 1), B′(−4 | 1), C′(−3 | 3).

Jetzt spiegelst du das Bild aus a) an der waagerechten x-Achse. Welche Koordinate ändert sich?

y wechselt das Vorzeichen, x bleibt: A′(−1 | 1) → A″(−1 | −1).

A″(−1 | −1), B″(−4 | −1), C″(−3 | −3).

x-Achse: y ändert das Vorzeichen. y-Achse: x ändert das Vorzeichen. Bei c) zweimal hintereinander.

a) (3 | −2) b) (4 | 1) c) erst (2 | 3), dann (−2 | 3) d) −0 = 0

P′(3 | −2), Q′(4 | 1), R″(−2 | 3), S′(0 | 4) – S liegt auf der Achse und bleibt.

An der x-Achse bleibt x gleich, nur y bekommt ein Minus.

A′(1 | −1), dann B′, C′, D′ genauso. Verbinde in der Reihenfolge A′ → B′ → C′ → D′.

A′(1 | −1), B′(4 | −1), C′(4 | −3), D′(1 | −3).

Die Achse ist die senkrechte Gerade durch x = 1. Zähle für jede Ecke, wie viele Kästchen sie rechts von der Achse liegt.

A: 2 − 1 = 1 → links: 1 − 1 = 0. B: 5 − 1 = 4 → 1 − 4 = −3. C: 4 − 1 = 3 → 1 − 3 = −2. y bleibt.

A′(0 | 1), B′(−3 | 1), C′(−2 | 3).

Die Spiegelachse liegt genau in der Mitte zwischen Punkt und Bildpunkt. Bei c) spiegelst du einfach zurück.

a) Mitte von −3 und 3. b) x bleibt gleich, also waagerechte Achse: Mitte von 5 und −1 ist (5 + (−1)) : 2. c) y → −y.

a) y-Achse, b) y = 2, c) C(−2 | 4).

Rechne zuerst alle Punkte für die y-Achse, dann mit den neuen Punkten für die x-Achse. Vergleiche danach die Vorzeichen von A und A″.

A(1 | 1) → A′(−1 | 1) → A″(−1 | −1). Bei c): Wo liegt C beim Urbild, wo C″ beim letzten Bild – oben oder unten?

A″(−1 | −1), B″(−3 | −1), C″(−1 | −4); Regel (x | y) → (−x | −y); keine Verschiebung, das Dreieck steht auf dem Kopf.

Rechts heißt: x wird größer. Unten heißt: y wird kleiner. Rechne das für jede Ecke einzeln.

A′ = (−3 + 4 | 1 − 2). Genauso B′ und C′. Dann die drei Bildpunkte eintragen und verbinden.

A′(1 | −1), B′(4 | −1), C′(2 | 1).

Wie weit musst du von P(−2 | −2) nach rechts gehen, um bei x = 3 zu sein? Und wie weit nach oben bis y = 0?

Bild minus Urbild: 3 − (−2) und 0 − (−2).

5 nach rechts und 2 nach oben.

Rechts/links verändert nur x, oben/unten nur y. Bei links und unten wird abgezogen.

a) (1 + 3 | 3 + 1) b) (−1 − 3 | 2 − 4) c) (0 + 2 | −3 + 5)

a) P′(4 | 4), b) Q′(−4 | −2), c) R′(2 | 2).

2 nach links: x − 2. 3 nach oben: y + 3. Alle vier Ecken rechnen.

A′ = (1 − 2 | 1 + 3), B′ = (5 − 2 | 1 + 3), C′ = (5 − 2 | 3 + 3), D′ = (1 − 2 | 3 + 3).

A′(−1 | 4), B′(3 | 4), C′(3 | 6), D′(−1 | 6).

5 nach rechts: x + 5. 3 nach unten: y − 3. Für den Flächeninhalt brauchst du g (waagerechte Seite AB) und h (Abstand von C zu AB).

A′ = (−4 + 5 | −1 − 3) usw. Urbild: g = −1 − (−4) = 3, h = 2 − (−1) = 3, A = g · h : 2.

A′(1 | −4), B′(4 | −4), C′(2 | −1); beide Dreiecke haben 4,5 FE.

Bild minus Urbild: x′ − x sagt, wie weit nach rechts (plus) oder links (minus); y′ − y, wie weit nach oben oder unten. Bei c) musst du rückwärts gehen.

a) 5 − 1 und −1 − 2. b) −1 − (−3) und 6 − 4. c) Urbild = Bild minus Pfeil: x − 3, y − 2.

a) 4 nach rechts, 3 nach unten. b) 2 nach rechts, 2 nach oben. c) A(−1 | 1), B(3 | 1), C(1 | 4).

Rechne die erste Verschiebung für alle Ecken, dann die zweite mit den neuen Punkten. Für b) addiere die beiden Pfeile: rechts/links zusammen, oben/unten zusammen.

Erste: x + 3, y + 1 → A′(3 | 1) … Zweite: x − 2, y + 4 → A″(1 | 5) … b) 3 − 2 = 1 nach rechts, 1 + 4 = 5 nach oben.

A″(1 | 5), B″(4 | 5), C″(4 | 7), D″(1 | 7); direkt: 1 nach rechts, 5 nach oben. c) Seitenlängen bleiben 3 LE und 2 LE, also A = 6 FE.

Trage die vier Punkte ein: erst x (links/rechts), dann y (unten/oben). Verbinde A → B → C → D → A. Welche Figur siehst du?

a = x von B minus x von A = 3 − (−3). b = y von C minus y von B = 1 − (−2). Dann A = a · b und u = 2 · (a + b).

a = 6 LE, b = 3 LE, A = 18 FE, u = 18 LE.

Die Seite AB ist waagerecht (gleiche y-Werte). Die Höhe geht von C senkrecht nach unten auf AB.

g = 2 − (−3) = 5 LE, h = 5 − 2 = 3 LE. A = g · h : 2.

A = 5 LE · 3 LE : 2 = 7,5 FE.

Erst laufen (x), dann klettern (y). Ein Minus bei x heißt nach links, ein Minus bei y heißt nach unten.

Bei b): Gehe vom Punkt senkrecht zur x-Achse – dort liest du x ab. Dann waagerecht zur y-Achse – dort liest du y ab. Bei c): Welche Koordinate ist 0?

b) A(2 | 3), B(−3 | 1), C(−1 | −2), D(3 | −1), E(0 | 2), F(−2 | 4). c) S und T aus a), E aus b) – jeweils ist eine Koordinate 0.

Suche zuerst die Seite, die waagerecht oder senkrecht liegt. Das ist deine Grundseite g.

a) g = 3 − (−3), h = 4 − 1. b) DE ist senkrecht und DF ist waagerecht – bei D ist ein rechter Winkel, also ist DE die Höhe auf DF.

a) A = 6 LE · 3 LE : 2 = 9 FE. b) A = 4 LE · 5 LE : 2 = 10 FE.

Die fehlende Ecke liegt genau über (oder unter) einer bekannten Ecke und auf gleicher Höhe wie eine andere. Nimm x von der einen und y von der anderen.

a) D hat das x von A und das y von C. b) Seitenlänge a = 9 − 6 = 3; C und D liegen 3 Einheiten über B und A.

a) D(−2 | 2), A = 6 LE · 3 LE = 18 FE. b) C(9 | 4), D(6 | 4), u = 12 LE, A = 9 FE.

Das Feld ist ein Rechteck, das Beet ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei (13 | 0). Die Einheit ist hier m!

Feld: A = 12 m · 7 m. Beet: g = 18 − 13, h = 4 − 0, A = g · h : 2. Säcke: Beetfläche geteilt durch 2 m².

Feld 84 m², Beet 10 m², 5 Säcke.

Die Seite AB kennst du schon: Wie lang ist sie? Dann: A = a · b – welche Seite fehlt?

a = 5 − (−3) = 8 LE. 24 FE = 8 LE · b, also b = 24 : 8. Die Seite b kann nach oben oder nach unten gehen – zwei Lösungen!

b = 3 LE. Lösung 1: C(5 | 2), D(−3 | 2). Lösung 2: C(5 | −4), D(−3 | −4).