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Die Zeigerspitze fährt in einer Stunde einmal ganz herum. Die Zeigerlänge ist der Radius.

u = 2 · π · r = 2 · π · 15 cm.

u ≈ 94,2 cm.

Eine Umdrehung = der Umfang. Gesucht ist d – rechne rückwärts.

220 cm = π · d | : π → d = 220 cmπ

d ≈ 70,06… cm ≈ 70 cm.

Erst die fehlende Größe: d = 2 · r bzw. r = d : 2. Dann u = π · d.

a) d = 6 cm, u = π · 6 cm b) r = 7 cm, u = π · 14 cm c) d = 5 m d) r = 0,4 m

a) ≈ 18,84 cm b) ≈ 43,96 cm c) ≈ 15,7 m d) ≈ 2,51 m.

Eine Runde am Rand und der Pizzarand sind jeweils der Umfang.

a) u = π · 6 m b) u = 2 · π · 16 cm

a) ≈ 18,84 m b) ≈ 100,5 cm.

Setze u in u = π · d ein und teile durch π. r ist die Hälfte von d.

a) d = 31,4 cmπ b) d = 12,56 mπ c) d = 50 cmπ

a) d ≈ 10 cm, r ≈ 5 cm b) d ≈ 4 m, r ≈ 2 m c) d ≈ 15,9 cm, r ≈ 8,0 cm.

a) Rückwärts: Durchmesser aus dem Umfang. b) Wie oft passen 1,20 m in 4,40 m? Ein angefangenes Plakat passt nicht.

a) 4,40 m = π · d | : π → d = 4,40 mπ b) n = 4,40 m1,20 m

a) d ≈ 1,40 m b) 3,66… → 3 Plakate (abrunden).

a) Rückwärts mit u = 2 · π · r. b) Das Seil ist 1 m länger – berechne, wie viel größer der Radius wird.

a) r = 40 000 km2 · π b) Abstand = 1 m2 · π c) Rechne dasselbe mit u = 70 cm und u = 170 cm.

a) r ≈ 6369 km b) ≈ 0,16 m = 16 cm, eine Katze passt durch c) wieder ≈ 16 cm – unabhängig von der Größe.

Ein Viertelkreis ist ein Viertel der ganzen Kreisfläche.

A = π · (4 cm)²4 = π · 16 cm²4

A ≈ 12,56 cm².

Großer Kreis minus kleiner Kreis – beide mit π · r².

A = π · (5 cm)² − π · (3 cm)² = π · 25 cm² − π · 9 cm²

A = π · 16 cm² ≈ 50,24 cm².

Erst die ganze Kreisfläche, dann durch 2, durch 4 oder mal drei Viertel. Bei a) ist d gegeben!

a) r = 5 cm, A = π · 25 cm²2 b) A = π · 36 cm²4 c) A = π · 4 cm² · 34

a) ≈ 39,25 cm² b) ≈ 28,26 cm² c) ≈ 9,42 cm².

Zerlege: Rechteck + Halbkreise. Zwei gleiche Halbkreise ergeben einen ganzen Kreis.

a) 4 m · 2 m + π · (1 m)² b) 2 m · 1,5 m + π · (1 m)²2

a) ≈ 11,14 m² b) ≈ 4,57 m².

Außen minus innen. Bei b) vergleichst du den Ring mit dem Innenkreis (r = 10 cm).

a) π · 16 cm² − π · 9 cm² b) Ring: π · 900 cm² − π · 400 cm², Innenkreis: π · 100 cm²

a) ≈ 21,98 cm² b) Ring ≈ 1570 cm², Innenkreis ≈ 314 cm² – fünfmal so groß.

Rückwärts: A durch π teilen gibt r², dann Wurzel ziehen.

a) r² = 78,5 cm²π b) r² = 28,26 m²π c) r² = 200 cm²π, dann √

a) r ≈ 5 cm b) r ≈ 3 m c) r ≈ 7,98 cm ≈ 8,0 cm.

a) Rechteck + Halbkreis (r = 0,4 m). b) Fläche mal Preis. c) Der Rahmen ist eine Länge: Boden + zwei Seiten + halber Kreisumfang.

a) 0,8 m · 1,6 m + π · (0,4 m)²2 b) A · 45 €/m² c) u = 0,8 m + 2 · 1,6 m + 2 · π · 0,4 m2

a) ≈ 1,53 m² b) ≈ 68,90 € c) ≈ 5,26 m.

A ist das Innere (cm²), u der Rand (cm). Zwei verschiedene Formeln!

A = π · r² = π · (4 cm)² und u = 2 · π · r = 2 · π · 4 cm

A ≈ 50,24 cm², u ≈ 25,12 cm.

In der Formel steht r, nicht d. Erst halbieren!

r = 24 cm2 = 12 cm, dann A = π · (12 cm)²

A ≈ 452,16 cm² ≈ 452 cm².

Fehlt r, rechne r = d2. Fehlt d, rechne d = 2 · r. Dann A = π · r².

a) A = π · (2 cm)² b) r = 5 cm, A = π · (5 cm)² c) A = π · (0,5 m)² d) r = 1,5 m

a) ≈ 12,56 cm² b) ≈ 78,5 cm² c) ≈ 0,785 m² d) ≈ 7,07 m².

Frag dich: Geht es um den Rand (eine Länge) oder um das Innere (eine Fläche)?

Rand: Zaun, Lichterkette → u = 2 · π · 3 m. Innen: Samen, Folie → A = π · (3 m)².

u ≈ 18,84 m, A ≈ 28,26 m².

a) Der Durchmesser ist gegeben – zuerst r. b) Die Dicke ist für die Fläche egal.

a) r = 2,5 m, A = π · (2,5 m)² b) A = π · (16 cm)²

a) ≈ 19,6 m² b) ≈ 803,84 cm² ≈ 804 cm².

Rechne beides aus und vergleiche: Um welchen Faktor wird u größer, um welchen A?

r₁ = 3 cm: u₁ ≈ 18,84 cm, A₁ ≈ 28,26 cm². r₂ = 6 cm: u₂ ≈ 37,68 cm, A₂ ≈ 113,04 cm².

u₂ = 2 · u₁, aber A₂ = 4 · A₁ – weil in r² der Radius zweimal steckt.

a) Radien: 13 cm und 16 cm. b) Teile den Preis durch die Anzahl der 100-cm²-Stücke.

A₂₆ = π · (13 cm)², A₃₂ = π · (16 cm)²; Preis je 100 cm² = Preis : (A : 100).

a) ≈ 530,66 cm² und ≈ 803,84 cm² b) ≈ 1,41 € und ≈ 1,31 € → die 32er ist günstiger c) weil r quadriert wird: 1,23² ≈ 1,51.

Lege die Schnur einmal straff um den Gegenstand, markiere die Stelle und miss die Schnur am Lineal. Den Durchmesser misst du genau durch die Mitte; r = d : 2.

u : d und u : r mit dem Taschenrechner, auf eine Stelle runden.

u : d ≈ 3,1 und u : r ≈ 6,3 – bei allen Gegenständen.

Schau auf die Spalten u : d und u : r: Kommt bei jedem Gegenstand ungefähr dieselbe Zahl heraus?

Die Zahl bei u : r ist doppelt so groß wie bei u : d – warum? (r ist halb so lang wie d.)

u : d ≈ 3,14 (= π), u : r ≈ 6,28 (= 2 · π).

Du kennst den Durchmesser – welche Formel passt?

u = π · d = π · 9 cm.

u ≈ 28,26 cm ≈ 28,3 cm (π ≈ 3,14).

Jetzt ist der Radius gegeben – nimm die Formel mit r.

u = 2 · π · r = 2 · π · 4,5 cm.

u ≈ 28,26 cm – genau wie in a), weil r = 4,5 cm dasselbe ist wie d = 9 cm.

Wie genau kann man mit einer Schnur messen?

π hat unendlich viele Nachkommastellen: 3,14159…

Messfehler machen die Werte ungenau; 3,14 ist ein Näherungswert für π. Weil 3,14 gerundet ist, ist auch das Ergebnis gerundet: ≈.

Ist d gegeben, nimm u = π · d. Ist r gegeben, nimm u = 2 · π · r.

a) u = π · 10 cm b) u = π · 2,5 m c) u = 2 · π · 6 cm d) u = 2 · π · 1,5 m (π ≈ 3,14)

a) ≈ 31,4 cm b) ≈ 7,85 m c) ≈ 37,7 cm d) ≈ 9,42 m.

Bei jedem Kreis muss u : d ungefähr 3,14 ergeben.

Teile jeweils u durch d. Welcher Wert passt nicht?

Teller 3,14, Münze ≈ 3,17, Rolle 3,14, Glas 2,75 – beim Glas wurde falsch gemessen.

a) Eine Runde ist der Umfang des Riesenrads. b) Das Seil geht einmal um den Rand – auch das ist der Umfang.

a) u = π · 50 m b) u = 2 · π · 6,5 m

a) ≈ 157 m b) ≈ 40,8 m.

Bei einer Umdrehung rollt das Rad einmal seinen Umfang ab.

a) u = π · 70 cm. b) 1 km = 100 000 cm; teile durch den Umfang.

a) ≈ 219,8 cm ≈ 2,20 m b) etwa 455 Umdrehungen.

Das Sechseck liegt innen, das Quadrat außen – der Kreisrand liegt dazwischen.

Sechseck: 6 · 2 cm, Kreis: 2 · π · 2 cm, Quadrat: 4 · 4 cm. Vergleiche mit 3 · d und 4 · d (d = 4 cm).

12 cm < 12,56 cm < 16 cm, also 3 · d < u < 4 · d.

Der Zirkel wird immer auf den Radius eingestellt. Wie groß ist r, wenn d = 4 cm ist?

r = d : 2 = 4 cm : 2. Spitze in M, einmal herumdrehen. Durchmesser: Lineal durch M legen, von Rand zu Rand zeichnen.

Zirkel auf 2 cm; der Durchmesser ist 4 cm lang.

Beide Kreise haben denselben Mittelpunkt. Der Ring ist so breit wie der Unterschied der Radien.

2,5 cm − 2 cm.

Der Ring ist 0,5 cm breit.

d ist doppelt so lang wie r. Beim Zeichnen stellst du den Zirkel auf r ein.

a) 2 · 4 cm b) 9 cm : 2 c) d = 5 cm → r = 2,5 cm d) 66 cm : 2

a) 8 cm, b) 4,5 cm, c) Zirkel auf 2 cm und 2,5 cm, d) 33 cm.

Radius: von M zum Rand. Durchmesser: durch M von Rand zu Rand. Sehne: von Rand zu Rand, aber nicht durch M.

b) Miss die Sehne und vergleiche mit d = 6 cm. c) Vergleiche 2 cm mit r = 3 cm.

b) Die Sehne ist kürzer als 6 cm – der Durchmesser ist die längste Sehne. c) Innerhalb, weil 2 cm < 3 cm.

a) Die Decke hängt auf beiden Seiten über – also zweimal 10 cm dazu. b) Der Empfangsbereich ist ein Kreis mit r = 5 m.

a) 1,20 m + 0,10 m + 0,10 m. b) 3,5 m und 6 m mit 5 m vergleichen; d = 2 · 5 m.

a) 1,40 m. b) Sofa ja, Schreibtisch nein; 10 m breit.

Zeichne die Mittelpunkte zuerst mit dem Lineal im richtigen Abstand, dann die Kreise. Zähle die gemeinsamen Punkte.

Beide Radien zusammen sind 4 cm. Vergleiche den Abstand der Mittelpunkte mit 4 cm.

a) 2 Schnittpunkte, b) 1 Berührpunkt (Abstand = r + r), c) keiner.

Zeichne erst den großen Kreis, dann einen Durchmesser. Die Mittelpunkte der kleinen Kreise liegen 1,5 cm links und rechts von M.

Großer d = 2 · 3 cm, kleine d = 2 · 1,5 cm – und zusammen? Spiegelachsen: Wo kannst du falten, sodass die Hälften aufeinanderliegen?

6 cm = 3 cm + 3 cm; zwei Spiegelachsen (Durchmesser durch die Mittelpunkte und die Senkrechte dazu).

Die y-Achse ist senkrecht. Ein Punkt rechts von ihr landet gleich weit links. Was passiert also mit x, was mit y?

x wechselt das Vorzeichen, y bleibt: A(1 | 1) → A′(−1 | 1). Genauso B und C.

A′(−1 | 1), B′(−4 | 1), C′(−3 | 3).

Jetzt spiegelst du das Bild aus a) an der waagerechten x-Achse. Welche Koordinate ändert sich?

y wechselt das Vorzeichen, x bleibt: A′(−1 | 1) → A″(−1 | −1).

A″(−1 | −1), B″(−4 | −1), C″(−3 | −3).

x-Achse: y ändert das Vorzeichen. y-Achse: x ändert das Vorzeichen. Bei c) zweimal hintereinander.

a) (3 | −2) b) (4 | 1) c) erst (2 | 3), dann (−2 | 3) d) −0 = 0

P′(3 | −2), Q′(4 | 1), R″(−2 | 3), S′(0 | 4) – S liegt auf der Achse und bleibt.

An der x-Achse bleibt x gleich, nur y bekommt ein Minus.

A′(1 | −1), dann B′, C′, D′ genauso. Verbinde in der Reihenfolge A′ → B′ → C′ → D′.

A′(1 | −1), B′(4 | −1), C′(4 | −3), D′(1 | −3).

Die Achse ist die senkrechte Gerade durch x = 1. Zähle für jede Ecke, wie viele Kästchen sie rechts von der Achse liegt.

A: 2 − 1 = 1 → links: 1 − 1 = 0. B: 5 − 1 = 4 → 1 − 4 = −3. C: 4 − 1 = 3 → 1 − 3 = −2. y bleibt.

A′(0 | 1), B′(−3 | 1), C′(−2 | 3).

Die Spiegelachse liegt genau in der Mitte zwischen Punkt und Bildpunkt. Bei c) spiegelst du einfach zurück.

a) Mitte von −3 und 3. b) x bleibt gleich, also waagerechte Achse: Mitte von 5 und −1 ist (5 + (−1)) : 2. c) y → −y.

a) y-Achse, b) y = 2, c) C(−2 | 4).

Rechne zuerst alle Punkte für die y-Achse, dann mit den neuen Punkten für die x-Achse. Vergleiche danach die Vorzeichen von A und A″.

A(1 | 1) → A′(−1 | 1) → A″(−1 | −1). Bei c): Wo liegt C beim Urbild, wo C″ beim letzten Bild – oben oder unten?

A″(−1 | −1), B″(−3 | −1), C″(−1 | −4); Regel (x | y) → (−x | −y); keine Verschiebung, das Dreieck steht auf dem Kopf.

Rechts heißt: x wird größer. Unten heißt: y wird kleiner. Rechne das für jede Ecke einzeln.

A′ = (−3 + 4 | 1 − 2). Genauso B′ und C′. Dann die drei Bildpunkte eintragen und verbinden.

A′(1 | −1), B′(4 | −1), C′(2 | 1).

Wie weit musst du von P(−2 | −2) nach rechts gehen, um bei x = 3 zu sein? Und wie weit nach oben bis y = 0?

Bild minus Urbild: 3 − (−2) und 0 − (−2).

5 nach rechts und 2 nach oben.

Rechts/links verändert nur x, oben/unten nur y. Bei links und unten wird abgezogen.

a) (1 + 3 | 3 + 1) b) (−1 − 3 | 2 − 4) c) (0 + 2 | −3 + 5)

a) P′(4 | 4), b) Q′(−4 | −2), c) R′(2 | 2).

2 nach links: x − 2. 3 nach oben: y + 3. Alle vier Ecken rechnen.

A′ = (1 − 2 | 1 + 3), B′ = (5 − 2 | 1 + 3), C′ = (5 − 2 | 3 + 3), D′ = (1 − 2 | 3 + 3).

A′(−1 | 4), B′(3 | 4), C′(3 | 6), D′(−1 | 6).

5 nach rechts: x + 5. 3 nach unten: y − 3. Für den Flächeninhalt brauchst du g (waagerechte Seite AB) und h (Abstand von C zu AB).

A′ = (−4 + 5 | −1 − 3) usw. Urbild: g = −1 − (−4) = 3, h = 2 − (−1) = 3, A = g · h : 2.

A′(1 | −4), B′(4 | −4), C′(2 | −1); beide Dreiecke haben 4,5 FE.

Bild minus Urbild: x′ − x sagt, wie weit nach rechts (plus) oder links (minus); y′ − y, wie weit nach oben oder unten. Bei c) musst du rückwärts gehen.

a) 5 − 1 und −1 − 2. b) −1 − (−3) und 6 − 4. c) Urbild = Bild minus Pfeil: x − 3, y − 2.

a) 4 nach rechts, 3 nach unten. b) 2 nach rechts, 2 nach oben. c) A(−1 | 1), B(3 | 1), C(1 | 4).

Rechne die erste Verschiebung für alle Ecken, dann die zweite mit den neuen Punkten. Für b) addiere die beiden Pfeile: rechts/links zusammen, oben/unten zusammen.

Erste: x + 3, y + 1 → A′(3 | 1) … Zweite: x − 2, y + 4 → A″(1 | 5) … b) 3 − 2 = 1 nach rechts, 1 + 4 = 5 nach oben.

A″(1 | 5), B″(4 | 5), C″(4 | 7), D″(1 | 7); direkt: 1 nach rechts, 5 nach oben. c) Seitenlängen bleiben 3 LE und 2 LE, also A = 6 FE.