OnlineSchule

Unten angekommen heißt: Höhe 0. Welche Gleichung ist das?

0 = 45 − 5x², also 5x² = 45 und x² = 9. Wurzel ziehen – beide Vorzeichen bedenken.

Kontrolle: x = 3, also nach 3 s (x = −3 ist keine Zeit).

Der Anhalteweg ist der Funktionswert. Gesucht ist das x, für das s(x) = 10 gilt.

10 = 0,01x² + 0,3x. Alles auf eine Seite, durch 0,01 teilen: 0 = x² + 30x − 1000, dann p-q-Formel.

Kontrolle: x₁,₂ = −15 ± 35, sinnvoll ist nur 20 km/h.

a) Boden heißt h(x) = 0. b) 35 m über dem Boden heißt h(x) = 35 – nicht 0!

a) 5x² = 80 ⇒ x² = 16. b) 35 = 80 − 5x² ⇒ 5x² = 45 ⇒ x² = 9.

Kontrolle: a) 4 s · b) 3 s (negative Zeiten verwerfen).

a) Die Kugel landet, wenn f(x) = 0 ist. Es gibt keine Zahl ohne x – welches Verfahren passt? b) f(x) = 3,6 setzen.

a) 0 = x · (−0,1x + 1,2). b) 3,6 = −0,1x² + 1,2x, durch −0,1 teilen: 0 = x² − 12x + 36. Was steht unter der Wurzel?

Kontrolle: a) 12 m · b) genau eine Lösung x = 6: 3,6 m ist die größte Höhe, S(6 | 3,6).

a) Auftreffen auf dem Wasser: f(x) = 0. b) 3 m hoch: f(x) = 3. Beide Male erst durch −0,2 teilen.

a) 0 = x² − 6x − 7, p = −6; q = −7. b) 0 = x² − 6x + 8, p = −6; q = 8.

Kontrolle: a) 7 m (−1 verwerfen) · b) bei 2 m und bei 4 m.

Das Auto kommt rechtzeitig zum Stehen, wenn der Anhalteweg höchstens 70 m ist. Rechnen Sie zuerst mit genau 70 m: s(x) = 70.

70 = 0,01x² + 0,3x, durch 0,01 teilen: 0 = x² + 30x − 7000. Unter der Wurzel steht 225 + 7000 = 7225 = 85².

Kontrolle: x₁,₂ = −15 ± 85 ⇒ 70 km/h. Die Lösung −100 ist eine negative Geschwindigkeit – ohne Bedeutung.

a) Landen heißt f(x) = 0. b) Der Zaun steht bei x = 7,5 – welche Höhe hat der Ball dort? Das ist ein Funktionswert, keine Gleichung.

a) Durch −0,25 teilen: 0 = x² − 8x − 4, p = −8; q = −4; unter der Wurzel steht 20. b) f(7,5) = −0,25 · 7,5² + 2 · 7,5 + 1 ausrechnen und mit 2 vergleichen.

Kontrolle: a) x ≈ 4 + 4,47 ≈ 8,47 m · b) f(7,5) ≈ 1,94 < 2: knapp nicht darüber.

a) Der Landepunkt (10 | 0) liegt auf dem Graphen: Setzen Sie x = 10 und f(10) = 0 ein. b) Wo liegt der Scheitelpunkt zwischen den Nullstellen 0 und 10?

a) 0 = a · 100 + 20 ⇒ a = −0,2. b) f(5) berechnen. c) 6 = −0,2x² + 2x, durch −0,2 teilen: 0 = x² − 10x + 30, D = 25 − 30.

Kontrolle: a) a = −0,2 · b) 5 m, S(5 | 5) · c) D = −5 < 0, keine Lösung.

Sie müssen die Gleichung nicht lösen – nur den Wert unter der Wurzel bestimmen.

p = 6; q = 10: D = (p/2)² − q = 3² − 10.

Kontrolle: D = −1 < 0, keine Lösung.

Es gibt keine Zahl ohne x. Was steckt in beiden Summanden?

0 = x · (x + 5): Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.

Kontrolle: x₁ = 0; x₂ = −5.

Normalform, dann D = (p/2)² − q. Nur das Vorzeichen von D zählt.

a) 16 − 12; b) 25 − 25; c) 2,25 − 4; d) erst durch 2 teilen: x² + 2x − 3 = 0, D = 1 + 3.

Kontrolle: a) zwei · b) eine · c) keine · d) zwei.

Klammern Sie x aus. Ein Faktor ist dann x selbst – also ist x = 0 immer eine Lösung.

a) x · (x − 7) = 0; b) x · (3x + 12) = 0; c) x · (−x + 5) = 0; d) erst | − 2x: 0,5x² − 2x = 0.

Kontrolle: a) 0; 7 · b) 0; −4 · c) 0; 5 · d) 0; 4.

Welche Bausteine hat die Gleichung? Fehlt der x-Term, fehlt die Zahl ohne x, oder ist alles da?

a) und d) Wurzelziehen; b) Ausklammern; c) p-q-Formel (oder binomische Formel erkennen).

Kontrolle: a) ±4 · b) 0; 16 · c) x = 3 · d) −1; 5.

Die Anzahl der Lösungen hängt nur von D ab. Setzen Sie q = c ein.

D = 3² − c = 9 − c. Wann ist dieser Term positiv, null, negativ?

Kontrolle: c < 9 zwei · c = 9 eine · c > 9 keine Lösung.

a) Aufkommpunkt: f(x) = 0 setzen, ohne Absolutglied – x ausklammern. b) f(x) = 3 setzen, alles auf eine Seite, durch −0,2 teilen, dann D. c) genauso mit f(x) = 4.

a) 0 = x · (−0,2x + 1,6). b) 3 = −0,2x² + 1,6x führt zu 0 = x² − 8x + 15. c) 4 = −0,2x² + 1,6x führt zu 0 = x² − 8x + 20.

Kontrolle: a) 8 m · b) ja (D = 1) · c) nein (D = −4).

Gemeinsame Punkte: f(x) = k. Bringen Sie die Gleichung auf Normalform – k steht dann in q.

x² − 4x + (1 − k) = 0, also D = 4 − (1 − k) = 3 + k. Zusätzlich: S(2 | −3).

Kontrolle: k > −3 zwei · k = −3 einer (im Scheitelpunkt) · k < −3 keiner.

Die Gleichung steht schon in Normalform. Lesen Sie p und q mit Vorzeichen ab.

p = −2; q = −8, also −p/2 = 1 und (p/2)² = 1: x₁,₂ = 1 ± √⁠(1 + 8).

Kontrolle: x₁ = −2; x₂ = 4.

Vor x² steht eine 3. Was müssen Sie tun, bevor Sie p und q ablesen?

0 = 3x² − 12x + 9 | : 3 ⇒ 0 = x² − 4x + 3, p = −4; q = 3.

Kontrolle: x₁ = 1; x₂ = 3, Schnittpunkte (1 | 0) und (3 | 0).

p ist die Zahl vor x, q die Zahl ohne x – jeweils mit dem Vorzeichen davor. Vorher muss rechts 0 stehen und vor x² eine 1.

c) durch 2 teilen; d) 3x und 10 auf die linke Seite bringen: x² − 3x − 10 = 0.

Kontrolle: a) p = 8; q = −9 · b) p = −5; q = 6 · c) p = −3; q = 2 · d) p = −3; q = −10.

Berechnen Sie zuerst −p/2 und den Wert unter der Wurzel (p/2)² − q.

a) −4 ± √⁠25; b) 2,5 ± √⁠0,25; c) −2 ± √⁠(−1); d) 3 ± √⁠0.

Kontrolle: a) −9; 1 · b) 2; 3 · c) keine Lösung · d) eine Lösung x = 3.

f(x) = 0 setzen und durch den Faktor vor x² teilen – bei b) durch −1.

a) 0 = x² − 4x − 5; b) 0 = x² − 2x − 3.

Kontrolle: a) (−1 | 0), (5 | 0) · b) (−1 | 0), (3 | 0).

Lesen Sie p und q mit Vorzeichen ab und vergleichen Sie mit Bens −p/2 und −q.

p = 6 ⇒ −p/2 = −3; q = −7 ⇒ −q = + 7: x₁,₂ = −3 ± √⁠(9 + 7).

Kontrolle: x₁ = −7; x₂ = 1.

Wo die Kugel landet, ist die Höhe 0.

0 = −0,05x² + 0,8x + 2 | : (−0,05) ⇒ 0 = x² − 16x − 40, also x₁,₂ = 8 ± √⁠104.

Kontrolle: Stoßweite ≈ 18,20 m; x₁ ≈ −2,20 liegt hinter dem Abstoß und ist nicht sinnvoll.

Breite x, Länge x + 3. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks?

x · (x + 3) = 40 ⇒ x² + 3x − 40 = 0, p = 3; q = −40.

Kontrolle: x = 5 (x = −8 ist keine Breite): 5 m breit, 8 m lang.

Nullstellen bedeutet f(x) = 0. Welche Zahlen ergeben quadriert 25? Es gibt zwei!

0 = x² − 25 | + 25 ⇒ 25 = x² ⇒ Wurzel ziehen mit beiden Vorzeichen.

Kontrolle: x₁ = −5; x₂ = 5. Probe: (−5)² − 25 = 0 und 5² − 25 = 0.

Erst das Quadrat freistellen: | + 8, dann | : 2. Was steht dann rechts?

0 = 2(x + 1)² − 8 ⇒ 4 = (x + 1)² ⇒ x + 1 = −2 oder x + 1 = 2 ⇒ jeweils | − 1.

Kontrolle: x₁ = −3; x₂ = 1, Schnittpunkte (−3 | 0) und (1 | 0).

Bringen Sie jede Gleichung auf die Form x² = c. Dann: c > 0 zwei Lösungen, c = 0 eine, c < 0 keine.

b) x² = 9; c) x² = 16; d) x² = −4 – kann ein Quadrat negativ sein?

Kontrolle: a) ±6; b) ±3; c) ±4; d) keine Lösung.

Wie in B2: f(x) = 0 setzen, nach dem Quadrat auflösen, Wurzel ziehen (±), dann d addieren. Schnittpunkte haben die Form (x | 0).

a) 9 = (x − 2)²; b) 4 = (x + 3)² (erst | + 2, dann | : 0,5); c) 16 = (x − 1)² (durch −1 teilen dreht das Vorzeichen).

Kontrolle: a) (−1 | 0), (5 | 0); b) (−5 | 0), (−1 | 0); c) (−3 | 0), (5 | 0).

Lösen Sie nur bis zur Form (x − d)² = Zahl. Entscheidend ist das Vorzeichen dieser Zahl.

a) (x − 4)² = 0; b) (x + 1)² = −3; c) (x − 1)² = 3; d) (x − 2)² = −1.

Kontrolle: a) eine (x = 4); b) keine; c) zwei; d) keine. Merken: Ein Quadrat ist nie negativ.

Am Boden ist die Höhe 0: f(x) = 0. Die Breite ist der Abstand der beiden Nullstellen.

a) 0 = f(x) ⇒ 16 = (x − 4)² ⇒ x = 0 oder x = 8. b) x = 2 einsetzen. c) Der mittige Lkw reicht von x = 4 − 1,25 = 2,75 bis x = 5,25 – wie hoch ist der Bogen bei x = 2,75?

Kontrolle: a) 8 m breit; b) 3 m; c) f(2,75) ≈ 3,61 m > 3,2 m, der Lkw passt.

Welche Zahlen ergeben quadriert 16? Lea hat nur eine davon benutzt.

x − 3 = −4 oder x − 3 = 4, jeweils | + 3.

Kontrolle: x₁ = −1; x₂ = 7. Probe: (−1 − 3)² = 16 und (7 − 3)² = 16.

a) Zuerst quadratisch ergänzen (Stunde 5), dann wie in B2 die Nullstellen bestimmen. b) Wann berührt die Parabel die x-Achse nur in einem Punkt?

a) f(x) = (x − 3)² − 4 ⇒ 0 = (x − 3)² − 4 ⇒ 4 = (x − 3)². b) g(x) = (x − 3)² + (c − 9): Genau eine Nullstelle, wenn e = c − 9 = 0 ist.

Kontrolle: a) x₁ = 1; x₂ = 5; b) c = 9, dann ist g(x) = (x − 3)² mit S(3 | 0) auf der x-Achse.

Klammern Sie zuerst 3 aus 3x² + 12x aus. Was steht dann in der Klammer?

3(x² + 4x) + 7; in der Klammer (4/2)² = 4 ergänzen und abziehen: 3(x² + 4x + 4 − 4) + 7 = 3((x + 2)² − 4) + 7.

Kontrolle: f(x) = 3(x + 2)² − 5, S(−2 | −5). Beim Ausmultiplizieren wird aus −4 die Zahl −12.

Der Faktor vor x² ist −1. Klammern Sie −1 aus – dabei ändern sich die Vorzeichen in der Klammer.

−(x² − 6x) − 4; (−6/2)² = 9 ergänzen: −(x² − 6x + 9 − 9) − 4 = −((x − 3)² − 9) − 4.

Kontrolle: g(x) = −(x − 3)² + 5, S(3 | 5). Aus −(−9) wird + 9.

Teilen Sie jeden Summanden durch den Faktor vor x². Was bleibt in der Klammer übrig?

a) 12x : 2 = 6x; b) −6x : 3 = −2x; c) 4x : (−1) = −4x; d) −3x : 0,5 = −6x.

Kontrolle: a) 2(x² + 6x); b) 3(x² − 2x); c) −(x² − 4x); d) 0,5(x² − 6x).

Fünf Schritte: a ausklammern, in der Klammer ergänzen und abziehen, binomische Formel, ausmultiplizieren, zusammenfassen.

a) 2(x² + 2x) − 1, 1 ergänzen; b) 3(x² − 6x) + 20, 9 ergänzen; c) −2(x² − 4x) − 3, 4 ergänzen.

Kontrolle: a) 2(x + 1)² − 3, S(−1 | −3); b) 3(x − 3)² − 7, S(3 | −7); c) −2(x − 2)² + 5, S(2 | 5).

Prüfen Sie Tims Schritt von der Zeile mit „+ 9 − 9“ zur nächsten: Wird wirklich alles in der äußeren Klammer mit 2 multipliziert?

Richtig: 2((x − 3)² − 9) + 10 = 2(x − 3)² − 18 + 10.

Kontrolle: f(x) = 2(x − 3)² − 8, S(3 | −8). Probe: 2x² − 12x + 18 − 8 = 2x² − 12x + 10.

Skizze: nach unten geöffnete Parabel, die bei (0 | 2) beginnt. Der höchste Punkt ist der Scheitelpunkt.

b) 0,8x : (−0,05) = −16x, also −0,05(x² − 16x) + 2, dann (−8)² = 64 ergänzen. c) Setzen Sie x = 0 ein.

Kontrolle: f(x) = −0,05(x − 8)² + 5,2, S(8 | 5,2): 8 m nach dem Abstoß ist die Kugel 5,2 m hoch. Abstoßhöhe f(0) = 2 m.

Bringen Sie f in die Scheitelpunktform und vergleichen Sie mit g und h.

2(x² + 4x) + 3 = 2(x² + 4x + 4 − 4) + 3 = 2((x + 2)² − 4) + 3 = …

Kontrolle: f(x) = 2(x + 2)² − 5 = g(x). Bei h fehlt das Abziehen der Ergänzung (h(0) = 11, f(0) = 3).

Rechnen Sie wie immer – c bleibt einfach als Buchstabe stehen.

a) 2(x − 2)² − 8 + c, also e = c − 8. b) Auf der x-Achse gilt e = 0. c) Die Parabel ist nach oben geöffnet: Wo muss S liegen?

Kontrolle: a) S(2 | c − 8); b) c = 8; c) für c > 8 liegt S oberhalb der x-Achse, der Graph schneidet sie nicht.