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Welche Zahl macht aus x² − 2x ein vollständiges Quadrat? Hälfte von p = −2 nehmen und quadrieren.

(−1)² = 1 ergänzen: x² − 2x + 1 − 1 + 5 = (x − 1)² + …

Kontrolle: f(x) = (x − 1)² + 4, S(1 | 4). Probe durch Ausmultiplizieren.

p = 10, also wird (10/2)² = 25 ergänzt. Vergessen Sie nicht, die 25 auch wieder abzuziehen.

x² + 10x + 25 − 25 + 21 = (x + 5)² − 4. Achtung beim Vorzeichen von d.

Kontrolle: g(x) = (x + 5)² − 4, S(−5 | −4).

Die fehlende Zahl ist immer (p/2)². In die Klammer kommt p/2 mit demselben Vorzeichen wie p.

a) (6/2)² = 9; b) (−4/2)² = 4; d) (−10/2)² = 25.

Kontrolle: a) 9, (x + 3)²; b) 4, (x − 2)²; c) 1, (x + 1)²; d) 25, (x − 5)².

Drei Schritte: (p/2)² ergänzen und abziehen, binomische Formel, Zahlen zusammenfassen. Bei c) ist p ungerade – das geht genauso mit 1,5.

a) x² − 8x + 16 − 16 + 12; b) x² + 6x + 9 − 9 + 2; c) (3/2)² = 2,25 ergänzen.

Kontrolle: a) (x − 4)² − 4, S(4 | −4); b) (x + 3)² − 7, S(−3 | −7); c) (x − 1,5)² − 1,25, S(1,5 | −1,25).

Welche Zahl müsste ergänzt werden – und welche steht schon da?

x² − 6x + 9 ist bereits (x − 3)². Also e = 0: Wo liegt dann der Scheitelpunkt?

Kontrolle: f(x) = (x − 3)², S(3 | 0). Der Graph berührt die x-Achse im Scheitelpunkt.

Vergleichen Sie Leas Klammer mit der Regel: In die Klammer gehört die Hälfte von p.

Richtig: (−12/2)² = 36 ergänzen und abziehen: x² − 12x + 36 − 36 + 37 = …

Kontrolle: f(x) = (x − 6)² + 1, S(6 | 1). Probe: (x − 6)² + 1 = x² − 12x + 37.

Skizze: nach oben geöffnete Parabel, der tiefste Punkt ist der Scheitelpunkt. Dort sind die Kosten am geringsten.

p = −20, also (−10)² = 100 ergänzen: x² − 20x + 100 − 100 + 105 = …

Kontrolle: K(x) = (x − 10)² + 5, S(10 | 5): bei 1000 Paketen pro Tag kostet ein Paket 5 Cent.

a) (−1)² = 1 ergänzen. b) Setzen Sie −2 und 4 ein – welcher Wert kommt beide Male heraus? c) Denken Sie an Öffnung und Lage von S.

a) x² − 2x + 1 − 1 − 8 = (x − 1)² − 9. b) f(−2) = 4 + 4 − 8; f(4) = 16 − 8 − 8.

Kontrolle: S(1 | −9); f(−2) = f(4) = 0 – Schnittpunkte (−2 | 0) und (4 | 0) mit der x-Achse; S liegt unter der x-Achse, Parabel nach oben geöffnet, also zwei Schnittpunkte.

Welche binomische Formel passt zu (x + 2)²? Lösen Sie zuerst nur die Klammer auf.

(x + 2)² = x² + 2 · 2 · x + 2² = x² + 4x + 4. Danach − 1 zusammenfassen.

Kontrolle: f(x) = x² + 4x + 3. Probe: f(0) = 4 − 1 = 3 = c.

Erst (x − 4)² auflösen und in Klammern lassen – das Minus davor wirkt auf jeden Summanden.

−(x² − 8x + 16) + 3 = −x² + 8x − 16 + 3 = …

Kontrolle: g(x) = −x² + 8x − 13. Probe: g(0) = −16 + 3 = −13 = c.

Plus in der Klammer: 1. Formel; Minus: 2. Formel; Plus mal Minus: 3. Formel.

(a − b)² = a² − 2ab + b²: bei b) ist a = x und b = 7; bei d) ist a = 2x, also a² = 4x².

Kontrolle: a) x² + 10x + 25; b) x² − 14x + 49; c) x² − 16; d) 4x² − 4x + 1.

Klammer mit der binomischen Formel auflösen, dann die Zahlen zusammenfassen.

a) (x − 1)² + 4 = x² − 2x + 1 + 4 = …; b) (x + 3)² − 10 = x² + 6x + 9 − 10 = …

Kontrolle: a) x² − 2x + 5; b) x² + 6x − 1; c) x² − 10x + 25.

Reihenfolge: erst die Klammer auflösen, dann jeden Summanden mit a multiplizieren, zuletzt zusammenfassen.

a) 3(x² − 4x + 4) + 1 = 3x² − 12x + 12 + 1; b) −0,5(x² + 8x + 16) + 2 = −0,5x² − 4x − 8 + 2.

Kontrolle: a) 3x² − 12x + 13; b) −0,5x² − 4x − 6. Probe: f(0) = c (13 bzw. −6).

Schreiben Sie (x − 3)² als (x − 3)(x − 3) und multiplizieren Sie jeden mit jedem.

Es fehlt der Mittelterm −2 · 3 · x = −6x, und 3² = +9.

Kontrolle: f(x) = x² − 6x + 10. Probe: f(0) = (0 − 3)² + 1 = 10.

Skizze: Bogen nach unten geöffnet, Abwurf bei x = 0, höchster Punkt ist der Scheitelpunkt.

−0,1(x² − 8x + 16) + 3,6 = −0,1x² + 0,8x − 1,6 + 3,6. Die Abwurfhöhe ist f(0) = c.

Kontrolle: f(x) = −0,1x² + 0,8x + 2; Abwurf in 2 m Höhe; S(4 | 3,6).

a) Bringen Sie f in die allgemeine Form und vergleichen Sie mit g. b) Lösen Sie (x − 4)² auf und vergleichen Sie die Zahlen.

a) 2(x² − 2x + 1) + 3 = … b) x² − 8x + 16 + e muss gleich x² − 8x + 20 sein: 16 + e = 20.

Kontrolle: a) 2x² − 4x + 5 = g(x). b) e = 4.

In der Form (x − d)² + e steht der Scheitelpunkt direkt da: S(d | e). Achten Sie auf das Vorzeichen von e.

f(x) = (x − 4)² − 1 ⇒ d = 4 und e = −1. f(2) = (2 − 4)² − 1 = (−2)² − 1 = …

Kontrolle: S(4 | −1), 4 nach rechts und 1 nach unten. f(2) = 3.

Bei (x + 1) ist d = −1. Das Vorzeichen von a entscheidet über die Öffnung.

g(x) = −2(x + 1)² + 3 ⇒ d = −1 und e = 3. g(0) = −2 · (0 + 1)² + 3 = −2 · 1 + 3 = …

Kontrolle: S(−1 | 3), nach unten geöffnet und gestreckt. g(0) = 1.

Lesen Sie d und e ab. Fehlt die Klammer, ist d = 0; fehlt die Zahl hinter der Klammer, ist e = 0.

b) (x + 4)² ⇒ d = −4. c) x² − 6 ⇒ d = 0 und e = −6. d) −3(x − 1)² ⇒ d = 1 und e = 0.

Kontrolle: a) S(5 | 2), b) S(−4 | −3), c) S(0 | −6) – alle nach oben geöffnet; d) S(1 | 0), nach unten geöffnet.

Rechts heißt d > 0, links d < 0; oben heißt e > 0, unten e < 0. Bei der Normalparabel ist a = 1.

f(x) = a(x − d)² + e mit a) d = 3, e = 2; b) d = −1, e = −4; c) a = −0,5, d = −2, e = 5.

Kontrolle: a) (x − 3)² + 2, b) (x + 1)² − 4, c) −0,5(x + 2)² + 5.

Bestimmen Sie von jeder Gleichung zuerst den Scheitelpunkt und suchen Sie ihn im Bild.

Scheitelpunkte: f: S(1 | 4); g: S(2 | 0); h: S(−2 | 1); k: S(−1 | −3). Nur f ist nach unten geöffnet.

Kontrolle: A ↔ g, B ↔ k, C ↔ f, D ↔ h.

Der Scheitelpunkt ist S(−2 | −4). Rechnen Sie von dort aus nach links und rechts – die Werte wiederholen sich symmetrisch.

f(−3) = (−3 + 2)² − 4 = (−1)² − 4 = 1 − 4 = … Schnittpunkte mit der x-Achse: wo ist f(x) = 0?

Kontrolle: 0; −3; −4; −3; 0. Symmetrieachse x = −2; Schnittpunkte mit der x-Achse (−4 | 0) und (0 | 0).

Skizze zuerst: Bogen von x = 0 bis x = 8, höchster Punkt ist der Scheitelpunkt. Der Transporter fährt mittig.

d = 4 und e = 4 ⇒ S(4 | 4). f(1) = −0,25 · (1 − 4)² + 4 = … Mittig heißt: von x = 3 bis x = 5 – berechnen Sie f(3).

Kontrolle: höchstens 4 m bei x = 4; f(1) = 1,75 m; f(3) = f(5) = 3,75 m > 2,5 m – der Transporter passt.

Verschieben ändert nur den Scheitelpunkt, a bleibt gleich. Wohin wandert S(1 | 3)?

Neuer Scheitelpunkt: S(1 − 4 | 3 − 5). Dann g(x) = 2(x − d)² + e und g(−2) als Gleichungskette berechnen.

Kontrolle: S(−3 | −2), g(x) = 2(x + 3)² − 2; g(−2) = 2 · 1² − 2 = 0, der Punkt liegt auf dem Graphen.

Erst quadrieren, dann mit 3 multiplizieren. Vergleichen Sie jeden Wert mit dem der Normalparabel an derselben Stelle.

f(x) = 3x² | x = −2 einsetzen → f(−2) = 3 · (−2)² = 3 · 4.

Kontrolle: 12, 3, 12. Dreimal so hoch wie die Normalparabel – also gestreckt (schmaler).

Das Minus gehört zu a, nicht zu x. Welches Vorzeichen haben dann alle Funktionswerte?

g(x) = −0,25x² | x = 4 einsetzen → g(4) = −0,25 · 16.

Kontrolle: g(4) = −4, g(−2) = −1. Nach unten geöffnet und gestaucht.

Reihenfolge: zuerst x², danach mal a. Bei d) ist a negativ.

f(0,5) = 4 · 0,5² = 4 · 0,25; g(3) = −2 · 3² = −2 · 9.

Kontrolle: 16, 4, 1 und −18.

Zwei Fragen pro Graph: Nach oben oder unten geöffnet? Steiler oder flacher als die Normalparabel?

Setzen Sie x = 2 in alle vier Gleichungen ein und lesen Sie die Höhe der Graphen bei x = 2 ab.

Kontrolle: A ↔ 3x², B ↔ x², C ↔ 0,5x², D ↔ −x².

g(x) ist immer das Negative von f(x). Rechnen Sie also nur f aus und spiegeln Sie die Werte.

f(−4) = 0,5 · 16 = 8, also g(−4) = −8. Beide Graphen haben den Scheitelpunkt (0 | 0).

Kontrolle: f: 8, 2, 0, 2, 8 und g: −8, −2, 0, −2, −8. Die Graphen sind Spiegelbilder an der x-Achse.

Setzen Sie den x-Wert des Punktes ein. Kommt genau der Funktionswert des Punktes heraus?

b) g(−2) = −0,25 · (−2)² = −0,25 · 4 – vergleichen Sie mit 1.

Kontrolle: a) ja (18), b) nein (−1 statt 1), c) ja (−8).

Skizze zuerst: Parabel nach oben, tiefster Punkt (0 | 0), Ränder bei x = −30 und x = 30. Die gesuchten Höhen sind Funktionswerte.

f(30) = 0,02 · 30² = 0,02 · 900; f(15) = 0,02 · 225. Für d) die größere Höhe durch die kleinere teilen.

Kontrolle: 18 cm, 4,5 cm, Faktor 4 – halber Abstand bedeutet ein Viertel der Höhe, weil x quadriert wird.

Der Punkt liefert x und f(x). Setzen Sie beides in f(x) = a·x² ein – dann bleibt nur a unbekannt.

10 = a · 2² → 10 = a · 4 | : 4. Bei b) genauso mit (−3)² = 9.

Kontrolle: a) a = 2,5. b) a = −1/3 ≈ −0,33, negativ → nach unten geöffnet.

Quadrieren heißt: die Zahl mit sich selbst multiplizieren – auch bei negativen Zahlen. Welches Vorzeichen hat (−4) · (−4)?

f(x) = x² | x = −4 einsetzen → f(−4) = (−4)². Genauso mit 1,5.

Kontrolle: 16 und 2,25. Die Punkte heißen (−4 | 16) und (1,5 | 2,25).

Vorwärts: Die Geschwindigkeit 70 wird für x eingesetzt. Rückwärts: 36 ist der Funktionswert, gesucht ist x.

f(70) = 0,01 · 70². Für den zweiten Teil: 36 = 0,01x² | : 0,01 und dann die Wurzel ziehen.

Kontrolle: 49 m. Rückwärts: x² = 3600, also x = 60 km/h (−60 km/h ist nicht sinnvoll).

Negative Zahlen in Klammern quadrieren. Und: 0,5² ist kleiner als 0,5 – warum?

f(−5) = (−5)² = (−5) · (−5). Bei 0,5: 0,5 · 0,5.

Kontrolle: 16, 25, 0,25 und 2,25 – kein Ergebnis ist negativ.

Erst die Tabelle, dann zeichnen. Symmetrische x-Werte wie −2 und 2 haben denselben Funktionswert.

f(−0,5) = 0,25 – der Punkt liegt nur ein Viertel Kästchen über der x-Achse. Punkte mit einer glatten Kurve verbinden, keine Geraden.

Kontrolle: Scheitelpunkt (0 | 0), f(−3) = f(3) = 9, die Kurve liegt nirgends unter der x-Achse.

Ein Punkt liegt auf dem Graphen, wenn das Einsetzen seines x-Werts genau den angegebenen Funktionswert liefert.

f(−2) = (−2)² = ? Vergleichen Sie das Ergebnis mit −4.

Kontrolle: Drei Punkte liegen auf der Normalparabel, (−2 | −4) nicht.

Beide Funktionen an derselben Stelle auswerten. g ist linear: g(x) = 2x + 3.

f(3) = 3² und g(3) = 2 · 3 + 3 – vergleichen. Dasselbe für x = 1 und x = −1.

Kontrolle: Bei x = 3 (Wert 9) und x = −1 (Wert 1) sind beide gleich. Gleiche Werte bedeuten gemeinsame Punkte: Die Graphen schneiden sich dort.

a) x ist die Zeit in Sekunden. b) Hier ist der Weg (45 m) gegeben, die Zeit gesucht. c) Vergleichen Sie f(1) und f(2).

b) 45 = 5x² | : 5 → 9 = x² | Wurzel ziehen.

Kontrolle: 5 m und 20 m; nach 3 s; doppelte Zeit bedeutet vierfachen Fallweg.

a) Welche Zahlen ergeben quadriert 49? Denken Sie an beide Vorzeichen. b) Kann ein Quadrat negativ sein?

x² = 49 → x = 7 oder x = −7. Am Graphen: Die Parabel ist symmetrisch, zur Höhe 49 gehören zwei Punkte.

Kontrolle: a) zwei Lösungen, b) keine Lösung – der Graph liegt nie unterhalb der x-Achse.

Flächeninhalt Quadrat: x · x = x². Rechteck: 6 · x. b) Gleich groß heißt gleichsetzen.

x² = 6x | : x (x ≠ 0) → x = 6.

Kontrolle: a) 16 m² / 24 m² und 64 m² / 48 m². b) 6 m (beide 36 m²). c) Das Quadrat ist größer, sobald x größer als 6 ist.