Stunde 3 der Reihe „Quadratische Funktionen“ (Mathematik 11): Wie verschiebt man eine Parabel nach rechts, links, oben und unten – und wie liest man den Scheitelpunkt direkt aus der Gleichung f(x) = a(x − d)² + e ab? Hier finden Sie das Arbeitsblatt, gestufte Tipps zu jeder Aufgabe und das Lösungsblatt.
Arbeitsblatt
Tipps
Aufgabe antippen, dann Tipp für Tipp freischalten: 1 Denkanstoß · 2 Ansatz · 3 Kontrolle.
In der Form (x − d)² + e steht der Scheitelpunkt direkt da: S(d | e). Achten Sie auf das Vorzeichen von e.
f(x) = (x − 4)² − 1 ⇒ d = 4 und e = −1. f(2) = (2 − 4)² − 1 = (−2)² − 1 = …
Kontrolle: S(4 | −1), 4 nach rechts und 1 nach unten. f(2) = 3.
Bei (x + 1) ist d = −1. Das Vorzeichen von a entscheidet über die Öffnung.
g(x) = −2(x + 1)² + 3 ⇒ d = −1 und e = 3. g(0) = −2 · (0 + 1)² + 3 = −2 · 1 + 3 = …
Kontrolle: S(−1 | 3), nach unten geöffnet und gestreckt. g(0) = 1.
Lesen Sie d und e ab. Fehlt die Klammer, ist d = 0; fehlt die Zahl hinter der Klammer, ist e = 0.
b) (x + 4)² ⇒ d = −4. c) x² − 6 ⇒ d = 0 und e = −6. d) −3(x − 1)² ⇒ d = 1 und e = 0.
Kontrolle: a) S(5 | 2), b) S(−4 | −3), c) S(0 | −6) – alle nach oben geöffnet; d) S(1 | 0), nach unten geöffnet.
Rechts heißt d > 0, links d < 0; oben heißt e > 0, unten e < 0. Bei der Normalparabel ist a = 1.
f(x) = a(x − d)² + e mit a) d = 3, e = 2; b) d = −1, e = −4; c) a = −0,5, d = −2, e = 5.
Kontrolle: a) (x − 3)² + 2, b) (x + 1)² − 4, c) −0,5(x + 2)² + 5.
Bestimmen Sie von jeder Gleichung zuerst den Scheitelpunkt und suchen Sie ihn im Bild.
Scheitelpunkte: f: S(1 | 4); g: S(2 | 0); h: S(−2 | 1); k: S(−1 | −3). Nur f ist nach unten geöffnet.
Kontrolle: A ↔ g, B ↔ k, C ↔ f, D ↔ h.
Der Scheitelpunkt ist S(−2 | −4). Rechnen Sie von dort aus nach links und rechts – die Werte wiederholen sich symmetrisch.
f(−3) = (−3 + 2)² − 4 = (−1)² − 4 = 1 − 4 = … Schnittpunkte mit der x-Achse: wo ist f(x) = 0?
Kontrolle: 0; −3; −4; −3; 0. Symmetrieachse x = −2; Schnittpunkte mit der x-Achse (−4 | 0) und (0 | 0).
Skizze zuerst: Bogen von x = 0 bis x = 8, höchster Punkt ist der Scheitelpunkt. Der Transporter fährt mittig.
d = 4 und e = 4 ⇒ S(4 | 4). f(1) = −0,25 · (1 − 4)² + 4 = … Mittig heißt: von x = 3 bis x = 5 – berechnen Sie f(3).
Kontrolle: höchstens 4 m bei x = 4; f(1) = 1,75 m; f(3) = f(5) = 3,75 m > 2,5 m – der Transporter passt.
Verschieben ändert nur den Scheitelpunkt, a bleibt gleich. Wohin wandert S(1 | 3)?
Neuer Scheitelpunkt: S(1 − 4 | 3 − 5). Dann g(x) = 2(x − d)² + e und g(−2) als Gleichungskette berechnen.
Kontrolle: S(−3 | −2), g(x) = 2(x + 3)² − 2; g(−2) = 2 · 1² − 2 = 0, der Punkt liegt auf dem Graphen.