Stunde 6 der Reihe „Quadratische Funktionen“ (Mathematik 11): Steht vor x² ein Faktor a ≠ 1, wird a zuerst ausgeklammert und dann in der Klammer quadratisch ergänzt – so wird aus f(x) = ax² + bx + c die Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e, etwa um den höchsten Punkt einer Flugbahn zu bestimmen. Hier finden Sie das Arbeitsblatt, gestufte Tipps zu jeder Aufgabe und das Lösungsblatt.
Arbeitsblatt
Tipps
Aufgabe antippen, dann Tipp für Tipp freischalten: 1 Denkanstoß · 2 Ansatz · 3 Kontrolle.
Klammern Sie zuerst 3 aus 3x² + 12x aus. Was steht dann in der Klammer?
3(x² + 4x) + 7; in der Klammer (4/2)² = 4 ergänzen und abziehen: 3(x² + 4x + 4 − 4) + 7 = 3((x + 2)² − 4) + 7.
Kontrolle: f(x) = 3(x + 2)² − 5, S(−2 | −5). Beim Ausmultiplizieren wird aus −4 die Zahl −12.
Der Faktor vor x² ist −1. Klammern Sie −1 aus – dabei ändern sich die Vorzeichen in der Klammer.
−(x² − 6x) − 4; (−6/2)² = 9 ergänzen: −(x² − 6x + 9 − 9) − 4 = −((x − 3)² − 9) − 4.
Kontrolle: g(x) = −(x − 3)² + 5, S(3 | 5). Aus −(−9) wird + 9.
Teilen Sie jeden Summanden durch den Faktor vor x². Was bleibt in der Klammer übrig?
a) 12x : 2 = 6x; b) −6x : 3 = −2x; c) 4x : (−1) = −4x; d) −3x : 0,5 = −6x.
Kontrolle: a) 2(x² + 6x); b) 3(x² − 2x); c) −(x² − 4x); d) 0,5(x² − 6x).
Fünf Schritte: a ausklammern, in der Klammer ergänzen und abziehen, binomische Formel, ausmultiplizieren, zusammenfassen.
a) 2(x² + 2x) − 1, 1 ergänzen; b) 3(x² − 6x) + 20, 9 ergänzen; c) −2(x² − 4x) − 3, 4 ergänzen.
Kontrolle: a) 2(x + 1)² − 3, S(−1 | −3); b) 3(x − 3)² − 7, S(3 | −7); c) −2(x − 2)² + 5, S(2 | 5).
Prüfen Sie Tims Schritt von der Zeile mit „+ 9 − 9“ zur nächsten: Wird wirklich alles in der äußeren Klammer mit 2 multipliziert?
Richtig: 2((x − 3)² − 9) + 10 = 2(x − 3)² − 18 + 10.
Kontrolle: f(x) = 2(x − 3)² − 8, S(3 | −8). Probe: 2x² − 12x + 18 − 8 = 2x² − 12x + 10.
Skizze: nach unten geöffnete Parabel, die bei (0 | 2) beginnt. Der höchste Punkt ist der Scheitelpunkt.
b) 0,8x : (−0,05) = −16x, also −0,05(x² − 16x) + 2, dann (−8)² = 64 ergänzen. c) Setzen Sie x = 0 ein.
Kontrolle: f(x) = −0,05(x − 8)² + 5,2, S(8 | 5,2): 8 m nach dem Abstoß ist die Kugel 5,2 m hoch. Abstoßhöhe f(0) = 2 m.
Bringen Sie f in die Scheitelpunktform und vergleichen Sie mit g und h.
2(x² + 4x) + 3 = 2(x² + 4x + 4 − 4) + 3 = 2((x + 2)² − 4) + 3 = …
Kontrolle: f(x) = 2(x + 2)² − 5 = g(x). Bei h fehlt das Abziehen der Ergänzung (h(0) = 11, f(0) = 3).
Rechnen Sie wie immer – c bleibt einfach als Buchstabe stehen.
a) 2(x − 2)² − 8 + c, also e = c − 8. b) Auf der x-Achse gilt e = 0. c) Die Parabel ist nach oben geöffnet: Wo muss S liegen?
Kontrolle: a) S(2 | c − 8); b) c = 8; c) für c > 8 liegt S oberhalb der x-Achse, der Graph schneidet sie nicht.