Stunde 5 der Reihe „Quadratische Funktionen“ (Mathematik 11): Mit der quadratischen Ergänzung wird aus der Normalform f(x) = x² + px + q die Scheitelpunktform – so lässt sich der Scheitelpunkt jeder Parabel berechnen. Hier finden Sie das Arbeitsblatt, gestufte Tipps zu jeder Aufgabe und das Lösungsblatt.
Arbeitsblatt
Tipps
Aufgabe antippen, dann Tipp für Tipp freischalten: 1 Denkanstoß · 2 Ansatz · 3 Kontrolle.
Welche Zahl macht aus x² − 2x ein vollständiges Quadrat? Hälfte von p = −2 nehmen und quadrieren.
(−1)² = 1 ergänzen: x² − 2x + 1 − 1 + 5 = (x − 1)² + …
Kontrolle: f(x) = (x − 1)² + 4, S(1 | 4). Probe durch Ausmultiplizieren.
p = 10, also wird (10/2)² = 25 ergänzt. Vergessen Sie nicht, die 25 auch wieder abzuziehen.
x² + 10x + 25 − 25 + 21 = (x + 5)² − 4. Achtung beim Vorzeichen von d.
Kontrolle: g(x) = (x + 5)² − 4, S(−5 | −4).
Die fehlende Zahl ist immer (p/2)². In die Klammer kommt p/2 mit demselben Vorzeichen wie p.
a) (6/2)² = 9; b) (−4/2)² = 4; d) (−10/2)² = 25.
Kontrolle: a) 9, (x + 3)²; b) 4, (x − 2)²; c) 1, (x + 1)²; d) 25, (x − 5)².
Drei Schritte: (p/2)² ergänzen und abziehen, binomische Formel, Zahlen zusammenfassen. Bei c) ist p ungerade – das geht genauso mit 1,5.
a) x² − 8x + 16 − 16 + 12; b) x² + 6x + 9 − 9 + 2; c) (3/2)² = 2,25 ergänzen.
Kontrolle: a) (x − 4)² − 4, S(4 | −4); b) (x + 3)² − 7, S(−3 | −7); c) (x − 1,5)² − 1,25, S(1,5 | −1,25).
Welche Zahl müsste ergänzt werden – und welche steht schon da?
x² − 6x + 9 ist bereits (x − 3)². Also e = 0: Wo liegt dann der Scheitelpunkt?
Kontrolle: f(x) = (x − 3)², S(3 | 0). Der Graph berührt die x-Achse im Scheitelpunkt.
Vergleichen Sie Leas Klammer mit der Regel: In die Klammer gehört die Hälfte von p.
Richtig: (−12/2)² = 36 ergänzen und abziehen: x² − 12x + 36 − 36 + 37 = …
Kontrolle: f(x) = (x − 6)² + 1, S(6 | 1). Probe: (x − 6)² + 1 = x² − 12x + 37.
Skizze: nach oben geöffnete Parabel, der tiefste Punkt ist der Scheitelpunkt. Dort sind die Kosten am geringsten.
p = −20, also (−10)² = 100 ergänzen: x² − 20x + 100 − 100 + 105 = …
Kontrolle: K(x) = (x − 10)² + 5, S(10 | 5): bei 1000 Paketen pro Tag kostet ein Paket 5 Cent.
a) (−1)² = 1 ergänzen. b) Setzen Sie −2 und 4 ein – welcher Wert kommt beide Male heraus? c) Denken Sie an Öffnung und Lage von S.
a) x² − 2x + 1 − 1 − 8 = (x − 1)² − 9. b) f(−2) = 4 + 4 − 8; f(4) = 16 − 8 − 8.
Kontrolle: S(1 | −9); f(−2) = f(4) = 0 – Schnittpunkte (−2 | 0) und (4 | 0) mit der x-Achse; S liegt unter der x-Achse, Parabel nach oben geöffnet, also zwei Schnittpunkte.