Stunde 7 der Reihe „Quadratische Funktionen“ (Mathematik 11): Nullstellen sind die x-Werte mit f(x) = 0. Reinquadratische Gleichungen x² = c und Gleichungen in Scheitelpunktform a(x − d)² + e = 0 werden durch Wurzelziehen gelöst – mit beiden Vorzeichen. So lässt sich zum Beispiel berechnen, wo ein geworfener Ball landet. Hier finden Sie das Arbeitsblatt, gestufte Tipps zu jeder Aufgabe und das Lösungsblatt.
Arbeitsblatt
Tipps
Aufgabe antippen, dann Tipp für Tipp freischalten: 1 Denkanstoß · 2 Ansatz · 3 Kontrolle.
Nullstellen bedeutet f(x) = 0. Welche Zahlen ergeben quadriert 25? Es gibt zwei!
0 = x² − 25 | + 25 ⇒ 25 = x² ⇒ Wurzel ziehen mit beiden Vorzeichen.
Kontrolle: x₁ = −5; x₂ = 5. Probe: (−5)² − 25 = 0 und 5² − 25 = 0.
Erst das Quadrat freistellen: | + 8, dann | : 2. Was steht dann rechts?
0 = 2(x + 1)² − 8 ⇒ 4 = (x + 1)² ⇒ x + 1 = −2 oder x + 1 = 2 ⇒ jeweils | − 1.
Kontrolle: x₁ = −3; x₂ = 1, Schnittpunkte (−3 | 0) und (1 | 0).
Bringen Sie jede Gleichung auf die Form x² = c. Dann: c > 0 zwei Lösungen, c = 0 eine, c < 0 keine.
b) x² = 9; c) x² = 16; d) x² = −4 – kann ein Quadrat negativ sein?
Kontrolle: a) ±6; b) ±3; c) ±4; d) keine Lösung.
Wie in B2: f(x) = 0 setzen, nach dem Quadrat auflösen, Wurzel ziehen (±), dann d addieren. Schnittpunkte haben die Form (x | 0).
a) 9 = (x − 2)²; b) 4 = (x + 3)² (erst | + 2, dann | : 0,5); c) 16 = (x − 1)² (durch −1 teilen dreht das Vorzeichen).
Kontrolle: a) (−1 | 0), (5 | 0); b) (−5 | 0), (−1 | 0); c) (−3 | 0), (5 | 0).
Lösen Sie nur bis zur Form (x − d)² = Zahl. Entscheidend ist das Vorzeichen dieser Zahl.
a) (x − 4)² = 0; b) (x + 1)² = −3; c) (x − 1)² = 3; d) (x − 2)² = −1.
Kontrolle: a) eine (x = 4); b) keine; c) zwei; d) keine. Merken: Ein Quadrat ist nie negativ.
Am Boden ist die Höhe 0: f(x) = 0. Die Breite ist der Abstand der beiden Nullstellen.
a) 0 = f(x) ⇒ 16 = (x − 4)² ⇒ x = 0 oder x = 8. b) x = 2 einsetzen. c) Der mittige Lkw reicht von x = 4 − 1,25 = 2,75 bis x = 5,25 – wie hoch ist der Bogen bei x = 2,75?
Kontrolle: a) 8 m breit; b) 3 m; c) f(2,75) ≈ 3,61 m > 3,2 m, der Lkw passt.
Welche Zahlen ergeben quadriert 16? Lea hat nur eine davon benutzt.
x − 3 = −4 oder x − 3 = 4, jeweils | + 3.
Kontrolle: x₁ = −1; x₂ = 7. Probe: (−1 − 3)² = 16 und (7 − 3)² = 16.
a) Zuerst quadratisch ergänzen (Stunde 5), dann wie in B2 die Nullstellen bestimmen. b) Wann berührt die Parabel die x-Achse nur in einem Punkt?
a) f(x) = (x − 3)² − 4 ⇒ 0 = (x − 3)² − 4 ⇒ 4 = (x − 3)². b) g(x) = (x − 3)² + (c − 9): Genau eine Nullstelle, wenn e = c − 9 = 0 ist.
Kontrolle: a) x₁ = 1; x₂ = 5; b) c = 9, dann ist g(x) = (x − 3)² mit S(3 | 0) auf der x-Achse.