Stunde 8 der Reihe „Quadratische Funktionen“ (Mathematik 11): Mit der p-q-Formel löst man jede Gleichung x² + px + q = 0 direkt – sie fasst quadratische Ergänzung und Wurzelziehen in einer Formel zusammen. Steht vor x² ein Faktor, wird zuerst durch ihn geteilt. Hier finden Sie das Arbeitsblatt, gestufte Tipps zu jeder Aufgabe und das Lösungsblatt.
Arbeitsblatt
Tipps
Aufgabe antippen, dann Tipp für Tipp freischalten: 1 Denkanstoß · 2 Ansatz · 3 Kontrolle.
Die Gleichung steht schon in Normalform. Lesen Sie p und q mit Vorzeichen ab.
p = −2; q = −8, also −p/2 = 1 und (p/2)² = 1: x₁,₂ = 1 ± √(1 + 8).
Kontrolle: x₁ = −2; x₂ = 4.
Vor x² steht eine 3. Was müssen Sie tun, bevor Sie p und q ablesen?
0 = 3x² − 12x + 9 | : 3 ⇒ 0 = x² − 4x + 3, p = −4; q = 3.
Kontrolle: x₁ = 1; x₂ = 3, Schnittpunkte (1 | 0) und (3 | 0).
p ist die Zahl vor x, q die Zahl ohne x – jeweils mit dem Vorzeichen davor. Vorher muss rechts 0 stehen und vor x² eine 1.
c) durch 2 teilen; d) 3x und 10 auf die linke Seite bringen: x² − 3x − 10 = 0.
Kontrolle: a) p = 8; q = −9 · b) p = −5; q = 6 · c) p = −3; q = 2 · d) p = −3; q = −10.
Berechnen Sie zuerst −p/2 und den Wert unter der Wurzel (p/2)² − q.
a) −4 ± √25; b) 2,5 ± √0,25; c) −2 ± √(−1); d) 3 ± √0.
Kontrolle: a) −9; 1 · b) 2; 3 · c) keine Lösung · d) eine Lösung x = 3.
f(x) = 0 setzen und durch den Faktor vor x² teilen – bei b) durch −1.
a) 0 = x² − 4x − 5; b) 0 = x² − 2x − 3.
Kontrolle: a) (−1 | 0), (5 | 0) · b) (−1 | 0), (3 | 0).
Lesen Sie p und q mit Vorzeichen ab und vergleichen Sie mit Bens −p/2 und −q.
p = 6 ⇒ −p/2 = −3; q = −7 ⇒ −q = + 7: x₁,₂ = −3 ± √(9 + 7).
Kontrolle: x₁ = −7; x₂ = 1.
Wo die Kugel landet, ist die Höhe 0.
0 = −0,05x² + 0,8x + 2 | : (−0,05) ⇒ 0 = x² − 16x − 40, also x₁,₂ = 8 ± √104.
Kontrolle: Stoßweite ≈ 18,20 m; x₁ ≈ −2,20 liegt hinter dem Abstoß und ist nicht sinnvoll.
Breite x, Länge x + 3. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks?
x · (x + 3) = 40 ⇒ x² + 3x − 40 = 0, p = 3; q = −40.
Kontrolle: x = 5 (x = −8 ist keine Breite): 5 m breit, 8 m lang.