Stunde 11 der Reihe „Quadratische Funktionen“ (Mathematik 11): Wo schneidet eine Gerade eine Parabel? Durch Gleichsetzen f(x) = g(x) entsteht eine quadratische Gleichung; ihre Lösungen sind die Schnittstellen, Einsetzen liefert die Schnittpunkte. Die Diskriminante verrät, ob es zwei Schnittpunkte, einen Berührpunkt oder keinen gemeinsamen Punkt gibt. Hier finden Sie das Arbeitsblatt, gestufte Tipps zu jeder Aufgabe und das Lösungsblatt.
Arbeitsblatt
Tipps
Aufgabe antippen, dann Tipp für Tipp freischalten: 1 Denkanstoß · 2 Ansatz · 3 Kontrolle.
Setzen Sie die beiden Terme gleich: x² − 4x + 5 = x + 1.
Alles auf eine Seite: x² − 5x + 4 = 0, dann p-q-Formel mit p = −5; q = 4. Danach beide x in g(x) = x + 1 einsetzen.
Kontrolle: x = 1 und x = 4, Schnittpunkte (1 | 2) und (4 | 5).
Gleichsetzen und alles auf eine Seite bringen. Sie müssen nicht fertig lösen – es reicht die Diskriminante.
x² + 3 = 2x + 1 führt zu x² − 2x + 2 = 0. D = (p2)² − q mit p = −2; q = 2.
Kontrolle: D = 1 − 2 = −1 < 0, kein gemeinsamer Punkt.
Immer drei Schritte: gleichsetzen, lösen, die x-Werte in g(x) einsetzen.
a) x² − x − 2 = 0. b) x² − 2x − 3 = 0. c) Das 2x fällt auf beiden Seiten weg: x² = 9 – Wurzelziehen.
Kontrolle: a) (−1 | 1), (2 | 4) · b) (−1 | −2), (3 | 6) · c) (−3 | 3), (3 | 15).
Gleichsetzen, auf die Form x² + px + q = 0 bringen, dann nur D = (p2)² − q berechnen.
a) x² − 4x + 4 = 0. b) x² + 2x + 2 = 0. c) x² − 3x − 4 = 0.
Kontrolle: a) D = 0, ein Berührpunkt · b) D = −1, keiner · c) D = 6,25, zwei.
a) Wertetabelle für f von x = −3 bis x = 5 anlegen, g ist eine Gerade mit Achsenabschnitt 2 und Steigung 1.
b) 0,5x² − 2 = x + 2 führt zu 0,5x² − x − 4 = 0. Erst durch 0,5 teilen: x² − 2x − 8 = 0.
Kontrolle: (−2 | 0) und (4 | 6).
Prüfen Sie: Liegt der Punkt (−1 | 0) auf der Geraden g(x) = 2x + 4?
Die Gleichung x² − 2x − 3 = 0 liefert nur die x-Werte. Die zweite Koordinate erhält man durch Einsetzen in g(x) oder f(x).
Kontrolle: (−1 | 2) und (3 | 10).
a) Ball und Hang treffen sich, wo f(x) = g(x) ist. Es gibt keine Zahl ohne x – welches Verfahren passt?
a) −0,1x² + 1,5x = 0, also x · (−0,1x + 1,5) = 0. Den x-Wert danach in g(x) einsetzen. b) f(5) und g(5) berechnen und subtrahieren.
Kontrolle: a) (15 | 7,5) · b) 7,5 m − 2,5 m = 5 m.
Berühren heißt: genau ein gemeinsamer Punkt, also D = 0.
x² + 4 = m · x führt zu x² − mx + 4 = 0 mit p = −m; q = 4. D = (−m2)² − 4 = m²4 − 4 = 0 lösen.
Kontrolle: a) m = 4 mit (2 | 8), m = −4 mit (−2 | 8) · b) −4 < m < 4.