Stunde 10 der Reihe „Quadratische Funktionen“ (Mathematik 11): Wo trifft der Wasserstrahl auf, wann kommt der Stein unten an, bei welcher Geschwindigkeit ist der Anhalteweg 40 m? Sachfragen werden in quadratische Gleichungen übersetzt, mit Wurzelziehen, Ausklammern oder p-q-Formel gelöst – und die Lösungen am Sachzusammenhang geprüft. Hier finden Sie das Arbeitsblatt, gestufte Tipps zu jeder Aufgabe und das Lösungsblatt.
Arbeitsblatt
Tipps
Aufgabe antippen, dann Tipp für Tipp freischalten: 1 Denkanstoß · 2 Ansatz · 3 Kontrolle.
Unten angekommen heißt: Höhe 0. Welche Gleichung ist das?
0 = 45 − 5x², also 5x² = 45 und x² = 9. Wurzel ziehen – beide Vorzeichen bedenken.
Kontrolle: x = 3, also nach 3 s (x = −3 ist keine Zeit).
Der Anhalteweg ist der Funktionswert. Gesucht ist das x, für das s(x) = 10 gilt.
10 = 0,01x² + 0,3x. Alles auf eine Seite, durch 0,01 teilen: 0 = x² + 30x − 1000, dann p-q-Formel.
Kontrolle: x₁,₂ = −15 ± 35, sinnvoll ist nur 20 km/h.
a) Boden heißt h(x) = 0. b) 35 m über dem Boden heißt h(x) = 35 – nicht 0!
a) 5x² = 80 ⇒ x² = 16. b) 35 = 80 − 5x² ⇒ 5x² = 45 ⇒ x² = 9.
Kontrolle: a) 4 s · b) 3 s (negative Zeiten verwerfen).
a) Die Kugel landet, wenn f(x) = 0 ist. Es gibt keine Zahl ohne x – welches Verfahren passt? b) f(x) = 3,6 setzen.
a) 0 = x · (−0,1x + 1,2). b) 3,6 = −0,1x² + 1,2x, durch −0,1 teilen: 0 = x² − 12x + 36. Was steht unter der Wurzel?
Kontrolle: a) 12 m · b) genau eine Lösung x = 6: 3,6 m ist die größte Höhe, S(6 | 3,6).
a) Auftreffen auf dem Wasser: f(x) = 0. b) 3 m hoch: f(x) = 3. Beide Male erst durch −0,2 teilen.
a) 0 = x² − 6x − 7, p = −6; q = −7. b) 0 = x² − 6x + 8, p = −6; q = 8.
Kontrolle: a) 7 m (−1 verwerfen) · b) bei 2 m und bei 4 m.
Das Auto kommt rechtzeitig zum Stehen, wenn der Anhalteweg höchstens 70 m ist. Rechnen Sie zuerst mit genau 70 m: s(x) = 70.
70 = 0,01x² + 0,3x, durch 0,01 teilen: 0 = x² + 30x − 7000. Unter der Wurzel steht 225 + 7000 = 7225 = 85².
Kontrolle: x₁,₂ = −15 ± 85 ⇒ 70 km/h. Die Lösung −100 ist eine negative Geschwindigkeit – ohne Bedeutung.
a) Landen heißt f(x) = 0. b) Der Zaun steht bei x = 7,5 – welche Höhe hat der Ball dort? Das ist ein Funktionswert, keine Gleichung.
a) Durch −0,25 teilen: 0 = x² − 8x − 4, p = −8; q = −4; unter der Wurzel steht 20. b) f(7,5) = −0,25 · 7,5² + 2 · 7,5 + 1 ausrechnen und mit 2 vergleichen.
Kontrolle: a) x ≈ 4 + 4,47 ≈ 8,47 m · b) f(7,5) ≈ 1,94 < 2: knapp nicht darüber.
a) Der Landepunkt (10 | 0) liegt auf dem Graphen: Setzen Sie x = 10 und f(10) = 0 ein. b) Wo liegt der Scheitelpunkt zwischen den Nullstellen 0 und 10?
a) 0 = a · 100 + 20 ⇒ a = −0,2. b) f(5) berechnen. c) 6 = −0,2x² + 2x, durch −0,2 teilen: 0 = x² − 10x + 30, D = 25 − 30.
Kontrolle: a) a = −0,2 · b) 5 m, S(5 | 5) · c) D = −5 < 0, keine Lösung.